Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Suma $9 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} - 4 y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} - 4 y^{2} = 9 x^{2}$

Paso 1.2.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4 = 9 x^{2}$

Paso 1.2.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 4$ .

$y^{2} (x^{2} - 4) = 9 x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 9 x^{2}$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 9 x^{2}$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$

Paso 1.5

Divide cada término en $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $y^{2} (x + 2) (x - 2) = 9 x^{2}$ por $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (x - 2)}{x - 2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ .

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Paso 1.7.1

Reescribe $\sqrt{\frac{9 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}}$ como $\frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.2.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.3

Multiplica $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $\frac{3 x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ por $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.4.2

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Paso 1.7.4.3

Eleva $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}$

Paso 1.7.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}$

Paso 1.7.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}$

Paso 1.7.4.6

Reescribe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ como $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 1.7.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ como ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.7.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.7.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.7.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.7.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}$

Paso 1.7.4.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.8

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.8.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.8.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

$y = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \to f (x) = - \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2} = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y^{2} - 9 x^{2} - 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 4 (2 y y')$

Paso 3.2.4.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 18 x - 8 y y'$

Paso 3.2.5

Reordena los términos.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x$

Paso 3.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 8 y y' - 18 x = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' - 18 x = - 2 y^{2} x$

Paso 3.5.1.2

Suma $18 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.2

Factoriza $2 y y'$ de $2 x^{2} y y' - 8 y y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $2 y y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' x^{2} - 8 y y' = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $2 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4 = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $2 y y'$ de $2 y y' x^{2} + 2 y y' \cdot - 4$ .

$2 y y' (x^{2} - 4) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 y y' (x^{2} - 2^{2}) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.4

Factoriza.

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Paso 3.5.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$2 y y' ((x + 2) (x - 2)) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$

Paso 3.5.5

Divide cada término en $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 3.5.5.1

Divide cada término en $2 y y' (x + 2) (x - 2) = - 2 y^{2} x + 18 x$ por $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y' (x + 2) (x - 2)}{2 y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{(y (x + 2)) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (x + 2) (x - 2)}{y (x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.3

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.5.5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - 2)}{x - 2} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.2.4.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.5.5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} x}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 3.5.5.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{(y (x + 2)) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.5.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $(y (x + 2)) (x - 2)$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y x)}{y ((x + 2) (x - 2))} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{18 x}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.4

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $18 x$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.5.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 y (x + 2) (x - 2)$ .

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Paso 3.5.5.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{2 (9 x)}{2 ((y (x + 2)) (x - 2))}$

Paso 3.5.5.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{(y (x + 2)) (x - 2)}$

$y' = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ .

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$

Paso 4.1.2

Since $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $(x + 2) (x - 2), y (x + 2) (x - 2), 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $y^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 4.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 4.1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 4.1.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 4.1.6

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.7

El MCM de $y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 4.1.8

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.9

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.10

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.11

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.12

El MCM de $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x + 2) (x - 2)$

Paso 4.1.13

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$y (x + 2) (x - 2)$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ por $y (x + 2) (x - 2)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} = 0$ por $y (x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común de $(x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y x}{(x + 2) (x - 2)}$ al numerador.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.1.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $y (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) (y)) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- y x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2) y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- y x y + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 1 x (y^{1} y) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 1 x (y^{1} y^{1}) + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 x y^{1 + 1} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 1 x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.6

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.7

Cancela el factor común de $y (x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 4.2.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$- x y^{2} + \frac{9 x}{y (x + 2) (x - 2)} (y (x + 2) (x - 2)) = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x + 2) (x - 2))$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + y \cdot 2) (x - 2))$

Paso 4.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 ((y x + 2 \cdot y) (x - 2))$

Paso 4.2.3.2

Expande $(y x + 2 y) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x (x - 2) + 2 y (x - 2))$

Paso 4.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y (x - 2))$

Paso 4.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.3.3.1

Combina los términos opuestos en $y x \cdot x + y x \cdot - 2 + 2 y x + 2 y \cdot - 2$ .

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Paso 4.2.3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $y x \cdot - 2$ y $2 y x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x - 2 x y + 2 x y + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3.1.2

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 0 + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3.1.3

Suma $y x \cdot x$ y $0$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x \cdot x + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.3.2.1.1

Mueve $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y (x \cdot x) + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} + 2 y \cdot - 2)$

Paso 4.2.3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0 (y x^{2} - 4 y)$

Paso 4.2.3.3.3

Multiplica $0$ por $y x^{2} - 4 y$ .

$- x y^{2} + 9 x = 0$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $- x y^{2} + 9 x$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $x$ de $- x y^{2}$ .

$x (- 1 y^{2}) + 9 x = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9 = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $x$ de $x (- 1 y^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (- 1 y^{2} + 9) = 0$

Paso 4.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x (- 1 y^{2} + 3^{2}) = 0$

Paso 4.3.3

Reordena $- 1 y^{2}$ y $3^{2}$ .

$x (3^{2} - 1 y^{2}) = 0$

Paso 4.3.4

Factoriza.

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Paso 4.3.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = y$ .

$x ((3 + y) (3 - y)) = 0$

Paso 4.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (3 + y) (3 - y) = 0$

Paso 4.3.5

Divide cada término en $x (3 + y) (3 - y) = 0$ por $(3 + y) (3 - y)$ y simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Divide cada término en $x (3 + y) (3 - y) = 0$ por $(3 + y) (3 - y)$ .

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común de $3 + y$ .

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Paso 4.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 4.3.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común de $3 - y$ .

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Paso 4.3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 - y)}{3 - y} = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 4.3.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{(3 + y) (3 - y)}$

Paso 4.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.5.3.1

Divide $0$ por $(3 + y) (3 - y)$ .

$x = 0$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{3 x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $0$ y $(0) + 2$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $3 (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{((0) + 2) ((0) - 2)}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $((0) + 2) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) ((0) - 2))}$

Paso 5.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Paso 5.2.1.2

Cancela el factor común de $0$ y $(0) - 2$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $3 \cdot (0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{(0 + 1) ((0) - 2)}$

Paso 5.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $(0 + 1) ((0) - 2)$ .

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Paso 5.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (0) = \frac{2 (3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)}))}{2 ((0 + 1) (0 - 1))}$

Paso 5.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (0) = \frac{3 \cdot ((0) \sqrt{((0) + 2) ((0) - 2)})}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 \sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{(0 + 2) (0 - 2)}$ .

$f (0) = \frac{0}{(0 + 1) (0 - 1)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{0}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Paso 5.2.3.4

Eleva $0 - 1$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Paso 5.2.3.5

Eleva $0 - 1$ a la potencia de $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}$

Paso 5.2.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}$

Paso 5.2.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 {(- 1)}^{2}}$

Paso 5.2.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2.5.2

Divide $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Paso 7