Cálculo Ejemplos

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

Paso 1.2

Multiplica $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ .

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Paso 1.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{1 + x^{8}}$ .

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

Paso 1.2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{6}{1 + x^{8}}$ .

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

Paso 1.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Paso 2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Paso 3

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{4}$ . Entonces $d u = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{1 + u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Paso 5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $1 + u^{2}$ .

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Paso 7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ con respecto a $u$ es $\arctan (u) + C$ .

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$