Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.4.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.13

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.12.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.12.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.12.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2.13

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.7.4

Resta $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.14

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.15

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.16

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.16.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.16.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.16.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.16.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Paso 2.3.17

Simplifica.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 2.3.18

Multiplica $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Paso 2.3.19

Combinar.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.20

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.21

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.21.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.21.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.22

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.23

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.24

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Paso 2.3.25

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.25.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.25.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Paso 2.3.25.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.3.25.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.25.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.3.25.4

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.26

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 1 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0 - \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.3

Resta $\frac{\ln (x)}{2}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.4

Reescribe $\frac{- \frac{\ln (x)}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ como un producto.

$- \frac{\ln (x)}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.5

Multiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{\ln (x)}{2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 2.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\ln (x)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{\ln (x)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Paso 3.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.5

Combina $x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.6

Mueve $x^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} - 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3 - 2}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.7.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Paso 3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Paso 3.12.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Paso 3.13

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \ln (x) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Paso 3.14

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{x^{3}}$

Paso 3.15

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}$ .

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Paso 3.15.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}}{x^{3}}$

Paso 3.15.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{3 \ln (x)}{2})}{x^{3}}$

Paso 3.15.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{3 \ln (x)}{2})$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3 \ln (x)}{2})}{x^{3}}$

Paso 3.16

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 3.17

Multiplica $x^{3}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.17.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3 - \frac{1}{2}}}$

Paso 3.17.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 3.17.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 3.17.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Paso 3.17.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Paso 3.17.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.18

Combina fracciones.

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Paso 3.18.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 4}$

Paso 3.18.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1 - \frac{3 \ln (x)}{2}}{4 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.19

Simplifica cada término.

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Paso 3.19.1

Reescribe $\frac{3 \ln (x)}{2}$ como $\frac{3}{2} \ln (x)$ .

$- \frac{1 - (\frac{3}{2} \ln (x))}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.19.2

Simplifica $\frac{3}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{3}{2}$ dentro del algoritmo.

$f''' (x) = - \frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Paso 4.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{{(x^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{3}{2}})] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x^{\frac{3}{2}})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{3}{2}})]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{3}{2}})]) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.4.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.5

Combina $x^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.6

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- (x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.7

Multiplica $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{5 - 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.7.3

Resta $3$ de $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.7.4

Divide $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x^{1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.8

Simplifica $x^{1}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.13

Simplifica el numerador.

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Paso 4.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.13.2

Resta $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.14

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.15

Combina $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.18

Simplifica la expresión.

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Paso 4.18.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.18.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.18.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]}{x^{5}}$

Paso 4.19

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})}{x^{5}}$

Paso 4.20

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{5}}$

Paso 4.21

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{5}}$

Paso 4.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{5}}$

Paso 4.23

Simplifica el numerador.

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Paso 4.23.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})}{x^{5}}$

Paso 4.23.2

Resta $2$ de $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})}{x^{5}}$

Paso 4.24

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.25

Para escribir $- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.26

Combina $- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.27

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.28

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}})) \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.29

Combina $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.30

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{3}{2}}}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.31

Factoriza $2$ de $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.32

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.32.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.32.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.32.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 5 x^{\frac{3}{2}}}{1} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.32.4

Divide $- 5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$

Paso 4.33

Reescribe $\frac{\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}}{x^{5}}$ como un producto.

$- \frac{1}{4} (\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{5}})$

Paso 4.34

Multiplica $\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5}}$

Paso 4.35

Multiplica $\frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{2 x^{5} \cdot 4}$

Paso 4.36

Multiplica $4$ por $2$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Paso 4.37

Simplifica.

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Paso 4.37.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.37.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.37.2.1.1

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.1.2

Multiplica $- 5 x^{\frac{3}{2}} (- \ln (x^{\frac{3}{2}}))$ .

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Paso 4.37.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.1.2.2

Simplifica $5 \ln (x^{\frac{3}{2}})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln ({(x^{\frac{3}{2}})}^{5})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{5}$ .

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Paso 4.37.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2} \cdot 5})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.1.3.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.37.2.1.3.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{3 \cdot 5}{2}})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.1.3.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{- 3 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.2.2

Resta $5 x^{\frac{3}{2}}$ de $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.3

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $- 8 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

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Paso 4.37.3.1

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $- 8 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.3.2

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} \ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} (\ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.3.3

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} \cdot - 8 + x^{\frac{3}{2}} (\ln (x^{\frac{15}{2}}))$ .

$- \frac{x^{\frac{3}{2}} (- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{5}}$

Paso 4.37.4

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{5} x^{- \frac{3}{2}}}$

Paso 4.37.5

Multiplica $x^{5}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.37.5.1

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 (x^{- \frac{3}{2}} x^{5})}$

Paso 4.37.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + 5}}$

Paso 4.37.5.3

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}}$

Paso 4.37.5.4

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}}$

Paso 4.37.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{- 3 + 5 \cdot 2}{2}}}$

Paso 4.37.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.37.5.6.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{- 3 + 10}{2}}}$

Paso 4.37.5.6.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$- \frac{- 8 + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.6

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$- \frac{- 1 (8) + \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.7

Factoriza $- 1$ de $\ln (x^{\frac{15}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (8) - 1 (- \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (8) - 1 (- \ln (x^{\frac{15}{2}}))$ .

$- \frac{- 1 (8 - \ln (x^{\frac{15}{2}}))}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.37.11

Multiplica $\frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 - \ln (x^{\frac{15}{2}})}{8 x^{\frac{7}{2}}}$