Cálculo Ejemplos

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 1

Reescribe $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ como $\sqrt[6]{x}$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Paso 2

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $p$ y $- p$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ con respecto a $p$ es $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ .

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Paso 4

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Paso 5

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ con respecto a $p$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

Paso 6

Calcula la derivada de $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ con respecto a $p$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $- p$ con respecto a $p$ es $- \frac{d}{d p} [p]$ .

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$