Cálculo Ejemplos

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

Paso 1

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $x$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Paso 3

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Paso 4

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

Paso 5

Calcula la derivada de $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{7}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reordena los términos.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

Paso 7.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ .

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$