Cálculo Ejemplos

$\int_{\sqrt[3]{x}}^{2 π} \cos (t^{3}) d t$

Paso 1

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d x} [- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t]$

Paso 2

Calcula la derivada de $- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

Paso 10

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}))$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}))$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{1}))$

Paso 10.5

Simplifica.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x))$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $\cos (x)$ .

$- \frac{\cos (x)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$