Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)} d x d x$

Paso 1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (3 x + 1)}$ a $\sec^{2} (3 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x]$

Paso 2

Como $d$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x d x$ con respecto a $x$ es $d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$ .

$d \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x x]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ y $g (x) = x$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Paso 4.2

Multiplica $\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ por $1$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x])$

Paso 5

$\int \sec^{2} (3 x + 1) d x$ es una antiderivada de $\sec^{2} (3 x + 1)$ , por lo que, por definición, $\frac{d}{d x} [\int \sec^{2} (3 x + 1) d x]$ es $\sec^{2} (3 x + 1)$ .

$d (\int \sec^{2} (3 x + 1) d x + x \sec^{2} (3 x + 1))$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$d \int \sec^{2} (3 x + 1) d x + d x \sec^{2} (3 x + 1)$