Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4}{x^{2} - 4} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x^{2} - 4} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Paso 2.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.7.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 2.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.1.7.4.2

Divide $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Paso 2.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Paso 2.1.7.6

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Paso 2.1.8

Mueve $- 2 A$ .

$1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 2 A + 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

Simplifica $- 2 (- B) + 2 B$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

Paso 2.3.2.2.1.2

Suma $2 B$ y $2 B$ .

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

$1 = 4 B$

$A = - B$

Paso 2.3.3

Resuelve $B$ en $1 = 4 B$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $4 B = 1$ .

$4 B = 1$

$A = - B$

Paso 2.3.3.2

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Paso 2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Paso 2.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - B$

Paso 2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x + 2$ .

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Paso 2.5.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$4 \int - \frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int - \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \frac{1}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Paso 6

Sea $u_{1} = x + 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 6.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 (- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Paso 9

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 9.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 11

Simplifica.

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$4 (- \frac{1}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Combina $\ln (| x + 2 |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |)) + C$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| x - 2 |)$ .

$4 (- \frac{\ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4}) + C$

Paso 13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.3.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Paso 13.3.2

Reescribe la expresión.

$- \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C$