Cálculo Ejemplos

$\int \frac{7 x^{2} - 9 x + 54}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)$ .

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{(x - 3) \cdot (x^{2} + 9)} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(7 x^{2} - 9 x + 54) (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.5.2

Divide $7 x^{2} - 9 x + 54$ por $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{(A) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = \frac{A ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x - 3} + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $(A) (x^{2} + 9)$ por $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = (A) (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6.3

Mueve $9$ a la izquierda de $A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6.4

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) ((x - 3) \cdot (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

Paso 1.1.6.4.2

Divide $(B x + C) (x - 3)$ por $1$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

Paso 1.1.6.5

Expande $(B x + C) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

Paso 1.1.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

Paso 1.1.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.1.6.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.6.1.1

Mueve $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.1.6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.1.6.6.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B x$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

Paso 1.1.6.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $C$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

Paso 1.1.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1

Mueve $B$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

Paso 1.1.7.2

Mueve $9 A$ .

$7 x^{2} - 9 x + 54 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$7 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$54 = 9 A - 3 C$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$7 = A + B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $7 = A + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 7$ .

$A + B = 7$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 9 A - 3 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $7 - B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $54 = 9 A - 3 C$ por $7 - B$ .

$54 = 9 (7 - B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$54 = 9 \cdot 7 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.3.2.2.1.2

Multiplica $9$ por $7$ .

$54 = 63 + 9 (- B) - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.3.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$A = 7 - B$

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.3.3

Reordena $7$ y $- B$ .

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$- 9 = - 3 B + C$

Paso 1.3.4

Resuelve $C$ en $- 9 = - 3 B + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $- 3 B + C = - 9$ .

$- 3 B + C = - 9$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Paso 1.3.4.2

Suma $3 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B - 3 C$

Paso 1.3.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 9 + 3 B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $54 = 63 - 9 B - 3 C$ por $- 9 + 3 B$ .

$54 = 63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1

Simplifica $63 - 9 B - 3 (- 9 + 3 B)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$54 = 63 - 9 B - 3 \cdot - 9 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.5.2.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 3 (3 B)$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.5.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = 63 - 9 B + 27 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.2.1.2.1

Suma $63$ y $27$ .

$54 = - 9 B + 90 - 9 B$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.5.2.1.2.2

Resta $9 B$ de $- 9 B$ .

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$54 = - 18 B + 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6

Resuelve $B$ en $54 = - 18 B + 90$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Reescribe la ecuación como $- 18 B + 90 = 54$ .

$- 18 B + 90 = 54$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1

Resta $90$ de ambos lados de la ecuación.

$- 18 B = 54 - 90$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.2.2

Resta $90$ de $54$ .

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$- 18 B = - 36$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.3

Divide cada término en $- 18 B = - 36$ por $- 18$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.1

Divide cada término en $- 18 B = - 36$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = \frac{- 36}{- 18}$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.3.3.1

Divide $- 36$ por $- 18$ .

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

$B = 2$

$C = - 9 + 3 B$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = - 9 + 3 B$ por $2$ .

$C = - 9 + 3 (2)$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.7.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1

Simplifica $- 9 + 3 (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$C = - 9 + 6$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.7.2.1.2

Suma $- 9$ y $6$ .

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = - B + 7$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B + 7$ por $2$ .

$A = - (2) + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Paso 1.3.7.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.4.1

Simplifica $- (2) + 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$A = - 2 + 7$

$C = - 3$

$B = 2$

Paso 1.3.7.4.1.2

Suma $- 2$ y $7$ .

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

$A = 5$

$C = - 3$

$B = 2$

Paso 1.3.8

Enumera todas las soluciones.

$A = 5, C = - 3, B = 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$

Paso 1.5

Multiplica $2$ por $x$ .

$\int \frac{5}{x - 3} + \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{5}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{1}{x - 3} d x + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = x - 3$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{1} = x - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 4.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x - 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 9}$ en dos fracciones.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} + \frac{- 3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 9

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 10

Sea $u_{2} = x^{2} + 9$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u_{2} = x^{2} + 9$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 10.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 10.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 11.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 13.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 14

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 15

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - \int \frac{3}{x^{2} + 9} d x$

Paso 16

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Paso 17

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x$

Paso 17.2

Reordena $x^{2}$ y $9$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x$

Paso 17.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x$

Paso 18

La integral de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C)$

Paso 19

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C - 3 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C)$

Paso 19.2

Simplifica.

$5 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Paso 20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 3$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| u_{2} |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Paso 20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 9$ .

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{x}{3}) + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$5 \ln (| x - 3 |) + \ln (| x^{2} + 9 |) - \arctan (\frac{1}{3} x) + C$