Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + x^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2}$

Paso 1.1.1.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza.

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.1.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))}$

Paso 1.1.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x (x - 1) (x + 2))}{x (x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) ((x - 1) (x + 2))}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.7.2

Divide $4 x^{2} - 3 x - 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = \frac{A (x (x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A ((x - 1) (x + 2))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A ((x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2

Expande $(x - 1) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + 2 x - x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A (x^{2} + x - 2) + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.1.8.6.1

Cancela el factor común.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + \frac{B (x (x - 1) (x + 2))}{x - 1} + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.6.2

Divide $(B) (x (x + 2))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.9

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.10

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.1.8.12.1

Cancela el factor común.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Paso 1.1.8.12.2

Divide $(C) (x (x - 1))$ por $1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (x - 1))$

Paso 1.1.8.13

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.14

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Paso 1.1.8.15

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.1.8.16

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x^{2} - x)$

Paso 1.1.8.17

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} + C (- x)$

Paso 1.1.8.18

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.2

Mueve $B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x - 2 A + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x$

Paso 1.1.9.3

Mueve $- 2 A$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + 2 x B + C x^{2} - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.4

Mueve $2 x B$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + A x + B x^{2} + C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.1.9.5

Mueve $A x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} + A x + 2 x B - C x - 2 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = A + B + C$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 4 = - 2 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$- 4 = - 2 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $- 4 = - 2 A$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 2 A = - 4$ .

$- 2 A = - 4$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2

Divide cada término en $- 2 A = - 4$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.3.1.2.1

Divide cada término en $- 2 A = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 4}{- 2}$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.1.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = A + B + C$ por $2$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = A + 2 B - 1 C$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 3 = A + 2 B - 1 C$ por $2$ .

$- 3 = (2) + 2 B - 1 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Paso 1.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.4.1

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $4 = 2 + B + C$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 + B + C = 4$ .

$2 + B + C = 4$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$B + C = 4 - 2$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 4 - 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Paso 1.3.3.2.3

Resta $2$ de $4$ .

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 3 = 2 + 2 B - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $2 - C$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 3 = 2 + 2 B - C$ por $2 - C$ .

$- 3 = 2 + 2 (2 - C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $2 + 2 (2 - C) - C$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 = 2 + 2 \cdot 2 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 3 = 2 + 4 + 2 (- C) - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 2 + 4 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.4.2.1.2.1

Suma $2$ y $4$ .

$- 3 = 6 - 2 C - C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.4.2.1.2.2

Resta $C$ de $- 2 C$ .

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 = 6 - 3 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5

Resuelve $C$ en $- 3 = 6 - 3 C$ .

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la ecuación como $6 - 3 C = - 3$ .

$6 - 3 C = - 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.5.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 C = - 3 - 6$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.2.2

Resta $6$ de $- 3$ .

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 3 C = - 9$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3

Divide cada término en $- 3 C = - 9$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.1

Divide cada término en $- 3 C = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 C}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{- 9}{- 3}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.3.3.1

Divide $- 9$ por $- 3$ .

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = 3$

$B = 2 - C$

$A = 2$

Paso 1.3.6

Reemplaza todos los casos de $C$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.6.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $B = 2 - C$ por $3$ .

$B = 2 - (3)$

$C = 3$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.6.2.1

Simplifica $2 - (3)$ .

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Paso 1.3.6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$B = 2 - 3$

$C = 3$

$A = 2$

Paso 1.3.6.2.1.2

Resta $3$ de $2$ .

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

$B = - 1$

$C = 3$

$A = 2$

Paso 1.3.7

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, C = 3, A = 2$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2}$

Paso 1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 6.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x + 2} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$2 \ln (| x |) - \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$2 \ln (| x |) - \ln (| x - 1 |) + 3 \ln (| x + 2 |) + C$