Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

Paso 1

Resta $2 x$ de $x$ .

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x - 3$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 2.1.3

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

Paso 2.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(- x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.5.2

Divide $3 (x - 1)$ por $1$ .

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.1

Cancela el factor común de ${(- x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.8.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

Paso 2.1.8.2

Cancela el factor común de ${(- x + 1)}^{2}$ y $- x + 1$ .

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Paso 2.1.8.2.1

Factoriza $- x + 1$ de $(B) {(- x + 1)}^{2}$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

Paso 2.1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.8.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Paso 2.1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

Paso 2.1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

Paso 2.1.8.2.2.4

Divide $B (- x + 1)$ por $1$ .

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

Paso 2.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

Paso 2.1.8.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

Paso 2.1.8.5

Multiplica $B$ por $1$ .

$3 x - 3 = A - B x + B$

Paso 2.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.9.1

Mueve $B$ .

$3 x - 3 = A - x B + B$

Paso 2.1.9.2

Reordena $A$ y $- x B$ .

$3 x - 3 = - x B + A + B$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = - 1 B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 3 = A + B$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.1

Resuelve $B$ en $3 = - 1 B$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 B = 3$ .

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3.1.2

Divide cada término en $- 1 B = 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Divide cada término en $- 1 B = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.2.3.1

Divide $3$ por $- 1$ .

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 3 = A + B$ por $- 3$ .

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

Paso 2.3.3

Resuelve $A$ en $- 3 = A - 3$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 3 = - 3$ .

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

Paso 2.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

Paso 2.3.3.2.2

Suma $- 3$ y $3$ .

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

Paso 2.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 0 B = - 3$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 0, B = - 3$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide $0$ por ${(- x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

Paso 2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

Paso 2.5.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

Paso 2.5.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

Paso 2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

Paso 2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.6.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

Paso 2.5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Paso 2.5.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

Paso 2.5.6.4

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $1$ .

$0 + \frac{3}{x - 1}$

Paso 2.5.7

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 4

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$3 \ln (| u |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$3 \ln (| x - 1 |) + C$