Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 t - 2}{t + 1} d t$

Paso 1

Divide $3 t - 2$ por $t + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$3 t$

$2$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$3$
	$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			+	$3 t$	+	$3$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 t + 3$ .

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			-	$3 t$	-	$3$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3$
$t$	+	$1$		$3 t$	-	$2$
			-	$3 t$	-	$3$
					-	$5$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 3 - \frac{5}{t + 1} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 d t + \int - \frac{5}{t + 1} d t$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$3 t + C + \int - \frac{5}{t + 1} d t$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 t + C - \int \frac{5}{t + 1} d t$

Paso 5

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$3 t + C - (5 \int \frac{1}{t + 1} d t)$

Paso 6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 t + C - 5 \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 7

Sea $u = t + 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 7.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 t + C - 5 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$3 t + C - 5 (\ln (| u |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$3 t - 5 \ln (| u |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$3 t - 5 \ln (| t + 1 |) + C$