Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 4 x$ at the point $(2, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$3 {(2)}^{2} - 4$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 4 - 4$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 - 4$

Paso 1.4.2

Resta $4$ de $12$ .

$8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $8$ y un punto dado $(2, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 8 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 8 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.2

Simplifica $8 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 8 x + 8 \cdot - 2$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$y = 8 x - 16$

Paso 3