Cálculo Ejemplos

$\int \frac{24 x^{3} + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $24 x^{3} + 20 x$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $24 x^{3}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 20 x}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.2

Factoriza $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Paso 1.1.1.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (6 x^{2}) + 4 x (5)$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{3 x^{4} + 5 x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + 5 x^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5}$

Paso 1.1.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 5$ .

$\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Paso 1.1.1.3

Reduce la expresión $\frac{4 x (6 x^{2} + 5)}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.1

Factoriza $x$ de $4 x (6 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x^{2} (3 x^{2} + 5)}$

Paso 1.1.1.3.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Paso 1.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{x (4 (6 x^{2} + 5))}{x (x (3 x^{2} + 5))}$

Paso 1.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5)}{x (3 x^{2} + 5)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (x (3 x^{2} + 5))}{x (3 x^{2} + 5)} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $3 x^{2} + 5$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (6 x^{2} + 5) (3 x^{2} + 5)}{3 x^{2} + 5} = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.5.2

Divide $4 (6 x^{2} + 5)$ por $1$ .

$4 (6 x^{2} + 5) = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (6 x^{2}) + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.7

Multiplica.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 x^{2} + 4 \cdot 5 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.7.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$24 x^{2} + 20 = \frac{A (x (3 x^{2} + 5))}{x} + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.1.2

Divide $A (3 x^{2} + 5)$ por $1$ .

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2} + 5) + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{2} + 20 = A (3 x^{2}) + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + A \cdot 5 + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.4

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.5

Cancela el factor común de $3 x^{2} + 5$ .

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Paso 1.1.8.5.1

Cancela el factor común.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + \frac{(B x + C) (x (3 x^{2} + 5))}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.1.8.5.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + (B x + C) (x)$

Paso 1.1.8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x \cdot x + C x$

Paso 1.1.8.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.7.1

Mueve $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.1.8.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 A x^{2} + 5 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.9.1

Mueve $A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.9.2

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + 5 A + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.9.3

Mueve $5 A$ .

$24 x^{2} + 20 = 3 x^{2} A + B x^{2} + C x + 5 A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$24 = 3 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$20 = 5 A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

$24 = 3 A + B$

$0 = C$

$20 = 5 A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$20 = 5 A$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $5 A = 20$ .

$5 A = 20$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Paso 1.3.2.2

Divide cada término en $5 A = 20$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.3.2.2.1

Divide cada término en $5 A = 20$ por $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 A}{5} = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Paso 1.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = \frac{20}{5}$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Paso 1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.3.1

Divide $20$ por $5$ .

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 3 A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $24 = 3 A + B$ por $4$ .

$24 = 3 (4) + B$

$A = 4$

$C = 0$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

$24 = 12 + B$

$A = 4$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $24 = 12 + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $12 + B = 24$ .

$12 + B = 24$

$A = 4$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 24 - 12$

$A = 4$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $12$ de $24$ .

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

$B = 12$

$A = 4$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 12 A = 4 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 12, A = 4, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{3 x^{2} + 5}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{4}{x} + \frac{12 x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{4}{x} + \frac{(12) \cdot x + 0}{3 x^{2} + 5}$

Paso 1.5.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$\int \frac{4}{x} + \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{4}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{12 x}{3 x^{2} + 5} d x$

Paso 5

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{x}{3 x^{2} + 5} d x$

Paso 6

Sea $u = 3 x^{2} + 5$ . Entonces $d u = 6 x d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 3 x^{2} + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $3 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 6.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 6.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 6.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x + 0$

Paso 6.1.4.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$6 x$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{6}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Paso 7.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 \int \frac{1}{6 u} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$4 (\ln (| x |) + C) + 12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{12}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $12$ y $6$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + 2 (\ln (| u |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| u |) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 5$ .

$4 \ln (| x |) + 2 \ln (| 3 x^{2} + 5 |) + C$