Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5.1.2

Divide $A (1 + x^{2})$ por $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5.4

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.5.4.2

Divide $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

Paso 1.1.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

Paso 1.1.5.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.6.1

Mueve $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

Paso 1.1.5.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

Paso 1.1.6

Mueve $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 1.3.2

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Paso 1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Paso 1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.2.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$