Cálculo Ejemplos

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

Paso 1

Sea $u = e^{t} - 4$ . Entonces $d u = e^{t} d t$ , de modo que $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = e^{t} - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $e^{t} - 4$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{t} - 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$e^{t} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $e^{t}$ y $0$ .

$e^{t}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cot (u) d u$

Paso 2

La integral de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\ln (| \sin (u) |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{t} - 4$ .

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$