Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.9

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 2.3.18

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.1.3.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.4

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 5.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 5.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.6

El MCM de $3, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 5.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.2.8

El MCM para $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ al numerador.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Multiplica $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Paso 5.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Simplifica ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.3.1.4

Simplifica.

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.4.2

Divide cada término en $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1

Divide cada término en $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Paso 5.4.4.4

Divide cada término en $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.1

Divide cada término en $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 5.4.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 6.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.2.2

Evalúa el exponente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $4 (\frac{2}{9})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.1

Combina $4$ y $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.5.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.5.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.5.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 9.1.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Paso 9.1.5.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Paso 9.1.5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Paso 9.1.5.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Paso 9.1.5.4

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Paso 9.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 9.1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 9.1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Paso 9.1.6

Combina $9$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Paso 9.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Paso 9.1.8

Multiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.8.1

Combina $2$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Paso 9.1.8.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 8}{9}$

Paso 9.2.2

Suma $8$ y $8$ .

$\frac{16}{9}$

Paso 10

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ en la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 11.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.6.2

Evalúa el exponente.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.7

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.7.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 11.2.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 11.2.1.7.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.7.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 11.2.1.7.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Paso 11.2.1.7.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 11.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Paso 11.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 11.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Paso 11.2.5

Resta $2$ de $1$ .

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Paso 11.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.6

Multiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.7.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.7.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.7.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.7.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2^{1}}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.7.2

Evalúa el exponente.

$\frac{4}{9 \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.8

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.8.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.8.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.8.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \frac{2}{2^{2}}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.8.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{9 (\frac{2}{4})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.9

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.9.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 (1)}{4}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 (\frac{1}{2})} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.2

Combina $9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{\frac{9}{2}} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 (\frac{2}{9}) + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.4

Multiplica $4 (\frac{2}{9})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.1

Combina $4$ y $\frac{2}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.4.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 13.1.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 13.1.5.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 ({(- 1)}^{4} \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}})}$

Paso 13.1.5.6

Multiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.7.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.7.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.7.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.7.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.8

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.8.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}}$

Paso 13.1.5.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Paso 13.1.5.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.8.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}}}$

Paso 13.1.5.8.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4}{2^{4}}}$

Paso 13.1.5.8.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{4}{16})}$

Paso 13.1.5.9

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.9.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 (1)}{16}}$

Paso 13.1.5.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.9.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 13.1.5.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 13.1.5.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{9} + \frac{2}{9 (\frac{1}{4})}$

Paso 13.1.6

Combina $9$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2}{\frac{9}{4}}$

Paso 13.1.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{8}{9} + 2 (\frac{4}{9})$

Paso 13.1.8

Multiplica $2 (\frac{4}{9})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Combina $2$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{8}{9} + \frac{2 \cdot 4}{9}$

Paso 13.1.8.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{9} + \frac{8}{9}$

Paso 13.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 8}{9}$

Paso 13.2.2

Suma $8$ y $8$ .

$\frac{16}{9}$

Paso 14

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ en la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{4}{3}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = 1 (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}) - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.6

Multiplica $\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.7.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.7.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.7.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.7.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{2^{2}}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.7.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{8^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.8

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.8.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{{(2^{3})}^{\frac{4}{3}}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.8.3.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{3 (\frac{4}{3})}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{2^{4}} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.8.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.9

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.9.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 (1)}{16} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.9.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - {(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 15.2.1.10

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.10.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{\frac{2}{3}})$

Paso 15.2.1.10.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - ({(- 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Paso 15.2.1.11

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.11.1

Mueve ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (- 1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.11.2

Multiplica ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.11.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot ((- 1) (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}))$

Paso 15.2.1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + 1} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.11.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{2 + 3}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.11.5

Suma $2$ y $3$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.12

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.13

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.14

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.14.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.14.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{5} (\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}})$

Paso 15.2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.16.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.16.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.16.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.16.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.16.2

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.17

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.17.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 15.2.1.17.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.2.1.17.3

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.17.3.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Paso 15.2.1.17.3.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2^{2}}$

Paso 15.2.1.17.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 15.2.1.18

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.18.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{4}$

Paso 15.2.1.18.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.18.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 15.2.1.18.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 15.2.1.18.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 15.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{1 - 2}{4}$

Paso 15.2.5

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 15.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) = - \frac{1}{4}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{4}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 18

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 18.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0) \cup (0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}) \cup (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$

Paso 18.2

Sustituye cualquier número, como $- 3$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ en la primera derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.2.1.1

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = \frac{4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.2

Factoriza $- 3$ de $4 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 3 (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})}{- 1 \cdot - 3} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}}{- 1}$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.4

Reescribe $- 1 \cdot (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ como $- (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}})$ .

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{\frac{- 2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - (4 {(- 3)}^{- \frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = - (4 (\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}})) - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.1.7

Combina $4$ y $\frac{1}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.3

Para escribir $- \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.4

Para escribir $- \frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $- - 3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.2.2.5.1

Multiplica $\frac{4}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.2

Multiplica $\frac{2}{- 1 (- 3) {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{- 1 \cdot - 3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.4

Multiplica ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.2.2.5.4.1

Mueve ${(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 ({(- 3)}^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 18.2.2.5.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{1 + 1}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{{(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.5.5

Reordena los factores de ${(- 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{4 \cdot 3}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 18.2.2.6.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = \frac{- 4 \cdot 3 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.6.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.7

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.8

Factoriza $- 1$ de $- 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 \cdot 12 - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (12) - (2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1 (12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.2.2.11

La respuesta final es $- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{12 + 2 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 18.3

Sustituye cualquier número, como $- 0.18$ , del intervalo $(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, 0)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.18$ en la expresión.

$f' (- 0.18) = \frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.3.2

La respuesta final es $\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4

Sustituye cualquier número, como $0.18$ , del intervalo $(0, \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})$ en la primera derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.18$ en la expresión.

$f' (0.18) = \frac{4 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.4.2.1.1

Eleva $0.18$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = \frac{4 \cdot 0.56462161}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.56462161$ .

$f' (0.18) = \frac{2.25848646}{3} - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4.2.1.3

Divide $2.25848646$ por $3$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 {(0.18)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.4.2.1.4

Eleva $0.18$ a la potencia de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{3 \cdot 0.56462161}$

Paso 18.4.2.1.5

Multiplica $3$ por $0.56462161$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - \frac{2}{1.69386485}$

Paso 18.4.2.1.6

Divide $2$ por $1.69386485$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1 \cdot 1.18073174$

Paso 18.4.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $1.18073174$ .

$f' (0.18) = 0.75282882 - 1.18073174$

Paso 18.4.2.2

Resta $1.18073174$ de $0.75282882$ .

$f' (0.18) = - 0.42790292$

Paso 18.4.2.3

La respuesta final es $- 0.42790292$ .

$- 0.42790292$

Paso 18.5

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, \infty)$ en la primera derivada $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 18.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = \frac{4 {(3)}^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.5.2.1.1

Mueve ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.2

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.5.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 18.5.2.1.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{4}{3^{1 - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{3 - 1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.3

Multiplica $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.5.2.1.3.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 18.5.2.1.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Paso 18.5.2.1.3.4

Suma $3$ y $1$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.2

Para escribir $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4}{3^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3^{\frac{4}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.5.2.3.1

Multiplica $\frac{4}{3^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.3.2

Multiplica $3^{\frac{2}{3}}$ por $3^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.5.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2 + 2}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.3.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.5.2.5

La respuesta final es $\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 18.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

Paso 18.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 18.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ , $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

Paso 18.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ es un mínimo local

Paso 19