Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

Paso 1

Sea $u_{1} = 3 t - 5$ . Entonces $d u_{1} = 3 d t$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{1} = 3 t - 5$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $3 t - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 7

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Paso 7.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 t - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$