Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.1.3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 \ln (u) d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \ln (u) d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \ln (u)$ y $dv = 1$ .

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $u$ y $\frac{1}{u}$ .

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

Paso 7

Simplifica.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 9.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$