Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = \frac{5}{x}$ . Entonces $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{5}{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 x^{- 2}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.6.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}}$

Paso 1.1.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

Paso 2

Dado que $- \frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Paso 3

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $\cos (u)$ .

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{5}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

Paso 6

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$