Cálculo Ejemplos

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ y $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ .

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Paso 4.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

Paso 5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Paso 7.3

Multiplica $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ por $1$ .

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

Paso 8

Sea $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Entonces $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{3} = e^{u_{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $e^{u_{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

Paso 8.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{2}}$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

Paso 9

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u_{3}$ y $dv = \sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Paso 11.2

Multiplica $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ por $1$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

Paso 12

La integral de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sin (u_{3})$ .

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

Paso 13

Reescribe $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ como $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ .

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $e^{u_{2}}$ .

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 15.1.1

Cancela el factor común.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15.1.2

Reescribe la expresión.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15.2

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 15.2.1

Cancela el factor común.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15.2.2

Reescribe la expresión.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15.3

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 15.3.1

Cancela el factor común.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

Paso 15.3.2

Reescribe la expresión.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Paso 15.4

Divide $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Paso 15.5

Divide $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

Paso 15.6

Divide $x$ por $1$ .

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$