Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Paso 1.3.1.3

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.1.4

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Paso 1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

Paso 6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

Paso 7.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

Paso 7.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

Paso 7.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

Paso 7.4

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$0$