Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x + \cos (x) d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 5

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 6.1.2

Evalúa $\sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $- \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{π}{2}))}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.2

Aplica la regla del producto a $- (\frac{π}{2})$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.4

Multiplica ${(\frac{π}{2})}^{2}$ por $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2} - {(\frac{π}{2})}^{2}}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.6

Resta ${(\frac{π}{2})}^{2}$ de ${(\frac{π}{2})}^{2}$ .

$2 (\frac{0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.7

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 6.1.3.7.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$2 \frac{2 (0)}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{0}{1}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.7.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 \cdot 0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.8

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.1.3.9

Suma $0$ y $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$ .

$\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1 - \sin (- \frac{π}{2})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$1 - \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 6.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$1 - - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6.3.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - - 1$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1$

Paso 6.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$2$