Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $1$ y en $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Paso 4.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Paso 4.2

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Paso 4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Paso 4.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - 1}{16}$

Paso 4.5

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{16}$

Forma decimal:

$0.1875$