Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- d u = \sin (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Paso 1.1.4

Resta $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Paso 1.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $1$ y en $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 7.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$0.44948974 \dots$