Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

Paso 1

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Evalúa $\ln (| \sin (x) |)$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Paso 2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Paso 2.2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ es aproximadamente $0.8660254$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ es aproximadamente $0.70710678$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 2.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.5

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$