Cálculo Ejemplos

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = \log_{3} (x)$ .

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 3

La derivada de $\log_{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 4

Combina $\frac{1}{x \ln (3)}$ y $3^{x}$ .

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.1.2

Reordena los factores en $\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Factoriza $3^{x}$ de $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $3^{x}$ de $3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $3^{x}$ de $- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $3^{x}$ de $3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.2

Para escribir $\ln (3) \log_{3} (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.3

Combina $\ln (3) \log_{3} (x)$ y $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ .

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.5.1.2

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.2.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.3

Combina $3^{x}$ y $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.5

Combinar.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.6

Multiplica $3^{x}$ por $1$ .

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

Paso 5.7

Reordena los factores en $\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ .

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$