Cálculo Ejemplos

$\int e^{- \frac{x}{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = - \frac{x}{3}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{3} d x$ , de modo que $- 3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = - \frac{x}{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Paso 1.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Paso 2.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 3 d u$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int - 3 e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- 3 (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$- 3 e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x}{3}$ .

$- 3 e^{- \frac{x}{3}} + C$

Paso 7

Reordena los términos.

$- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$