Cálculo Ejemplos

$\int \cos^{2} (\frac{π}{2} x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Entonces $d u_{1} = \frac{π}{2} d x$ , de modo que $\frac{2}{π} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = \frac{π}{2} x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{2} x$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{π}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \frac{2}{π}) d u_{1}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{2}{π} d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\cos^{2} (u_{1})$ y $\frac{2}{π}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1}) \cdot 2}{π} d u_{1}$

Paso 2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{π}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{2}{π}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{π} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{2}{π} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{π} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{π} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 10

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 12

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{π} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{π} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{π}{2} x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π}{2} x + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{π}{2}$ y $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{2} x))) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{π}{2}$ y $x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Paso 15.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2})) + C$

Paso 15.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{1}{2} \sin (π x)) + C$

Paso 15.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (π x)$ .

$\frac{1}{π} (\frac{π x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Paso 15.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Paso 15.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} \cdot \frac{\sin (π x)}{2} + C$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $\frac{\sin (π x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{π \cdot 2} + C$

Paso 15.5

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (π x)}{2 π} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2 π} \sin (π x) + C$