Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (4 t)$ . Entonces $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (4 t)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = 4 t$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina $3^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 5

La integral de $3^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Paso 6

Combina $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ en $0$ y en $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2.2

Evalúa el exponente.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2.4

Resta $3$ de $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Paso 7.2.6

Reescribe $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ como un producto.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 7.2.7

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Paso 7.2.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.2.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Paso 7.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Paso 7.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Paso 7.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Paso 7.2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Paso 7.2.10

Multiplica $\frac{1}{2 \ln (3)}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Forma decimal:

$0.45511961 \dots$