Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec^{4} (x) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (x) d x$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$5 \int_{0}^{1} 1 + u^{2} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$5 (u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{2} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (u]_{0}^{1} + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $u]_{0}^{1}$ y $\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$ .

$5 (u + \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$5 (u + \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $u + \frac{u^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$5 ((1 + \frac{1^{3}}{3}) - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (1 + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$5 (\frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{3 + 1}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.4

Suma $3$ y $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{3}))$

Paso 9.2.6

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.6.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 9.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{4}{3} - (0 + \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.6.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$5 (\frac{4}{3} - (0 + 0))$

Paso 9.2.7

Suma $0$ y $0$ .

$5 (\frac{4}{3} - 0)$

Paso 9.2.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{4}{3} + 0)$

Paso 9.2.9

Suma $\frac{4}{3}$ y $0$ .

$5 (\frac{4}{3})$

Paso 9.2.10

Combina $5$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{3}$

Paso 9.2.11

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{20}{3}$

Forma decimal:

$6.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$6 \frac{2}{3}$