Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$5 (\frac{1}{3} - 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{1}{3} + 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.5

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$5 (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.6

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.8

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.9

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.10

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 6.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 6.3.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 6.3.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Paso 6.3.13

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Paso 6.3.14

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0$

Paso 6.3.15

Suma $\frac{2}{3}$ y $0$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 6.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 + 2}{3}$

Paso 6.3.17

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{1}{3}$

Paso 8