Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{0.5} 3 \tan (2 x) d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{0.5} \tan (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.5$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{0}^{1} \tan (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\tan (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{\tan (u)}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \tan (u) d u$

Paso 6

La integral de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{3}{2} \ln (| \sec (u) |)]_{0}^{1}$

Paso 7

Evalúa $\ln (| \sec (u) |)$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| \sec (1) |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$

Paso 8.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $\ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3 \ln (\frac{| \sec (1) |}{| 1 |})}{2}$

Forma decimal:

$0.00022847 \dots$