Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + x$ . Entonces $d u = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + x$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + x$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 4.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Paso 4.2.7

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.8

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

Paso 4.2.9

Suma $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ y $0$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$1.88561808 \dots$

Paso 6