Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{x - 4} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = \sqrt{x - 4}$ .

$x^{3} (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{3} \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3} \cdot 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3} \cdot 3$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 3}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{6}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{1} \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x)$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2}) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x - 4$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x - 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 5.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(u_{1} + 4)}^{2} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = u_{1} + 4$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 4$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Paso 6.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $4$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7

Sea $u_{3} = u_{2} - 4$ . Entonces $d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{3} = u_{2} - 4$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{2} - 4$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Paso 7.1.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(u_{3} + 4)}^{2} d u_{3}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe ${(u_{3} + 4)}^{2}$ como $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\frac{x^{3} (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((u_{3} + 4) (u_{3} + 4)) d u_{3}$

Paso 8.2