Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ por $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Paso 4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ y $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Combina $\frac{π}{2}$ y $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $0$ por $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

Paso 5.2.2.4

Suma $0$ y $\sin (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

Paso 5.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

Paso 5.3.4

Multiplica $π$ por $0$ .

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

Paso 5.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Paso 5.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

Paso 5.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

Paso 5.3.5.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 0 + 1 - 0$

Paso 5.3.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 1 - 0$

Paso 5.3.7

Suma $0$ y $1$ .

$1 - 0$

Paso 5.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$1$