Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 6 \sin (2 x) d x$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$6 \int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 5.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Paso 6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$3 (- \cos (u)]_{0}^{π})$

Paso 7

Evalúa $- \cos (u)$ en $π$ y en $0$ .

$3 (- \cos (π) + \cos (0))$

Paso 8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 (- \cos (π) + 1)$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$3 (- - \cos (0) + 1)$

Paso 9.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Paso 9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (- - 1 + 1)$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (1 + 1)$

Paso 9.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 \cdot 2$

Paso 9.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$6$