Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \cos (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \cos (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{12})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Paso 1.5.1.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Paso 1.5.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{6})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.2

Combina $u_{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} u_{2} d u_{2})$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ en $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y en $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.2

Combinar.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.3

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.3.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 7.1.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{1 + 2}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.4

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} (\frac{3^{1}}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.5.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{2^{3}} - \frac{1}{2})$

Paso 7.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2})$

Paso 7.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4})$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{3}{8} - \frac{4}{8})$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 4}{8}$

Paso 7.5

Resta $4$ de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{8}$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$

Paso 7.7

Multiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{8})$ .

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Paso 7.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{8}$

Paso 7.7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 7.7.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8}$

Paso 7.7.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{16}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{16}$

Forma decimal:

$0.0625$