Cálculo Ejemplos

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $y^{2} + 2 y - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{y - 1}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(y - 1) (y + 3)$ .

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.6.2

Divide $y - 2$ por $1$ .

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (y + 3)$ por $1$ .

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7.4

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

Paso 1.1.7.4.2

Divide $(B) (y - 1)$ por $1$ .

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

Paso 1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

Paso 1.1.7.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

Paso 1.1.7.7

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

Paso 1.1.8

Mueve $3 A$ .

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = 3 A - 1 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 2 = 3 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica $3 (1 - B) - 1 B$ .

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Paso 1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 3 B$ .

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $- 2 = 3 - 4 B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 - 4 B = - 2$ .

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $- 4 B = - 5$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $- 4 B = - 5$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{5}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{5}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{5}{4})$ .

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Paso 1.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Paso 1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Paso 1.3.4.2.1.3

Resta $5$ de $4$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Paso 1.3.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{y - 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Paso 1.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y - 1$ .

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

Paso 1.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

Paso 1.5.5

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $\frac{1}{y + 3}$ .

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 5

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

Paso 7

Dado que $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{5}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

Paso 8

Sea $u_{2} = y + 3$ . Entonces $d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = y + 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Paso 8.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y + 3$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$