Cálculo Ejemplos

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

Paso 1

Sea $u = 3 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 - y$ .

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3

Expande $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.4

Mueve los paréntesis.

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.6

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.7

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.11

Resta $2$ de $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 3.13

Resta $3 u^{- \frac{2}{3}}$ de $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 6

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 8.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - y$ .

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$