Cálculo Ejemplos

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 t}$ como ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.2

Factoriza $5$ de $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(5 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $5 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 10

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Combina $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Reordena los factores en $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$