Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{\cos (0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Reordena $- 1$ y $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{\sec^{2} (0) - 1}{\cos (0)}$

Paso 4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\tan^{2} (0)}{\cos (0)}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{2}}{\cos (0)}$

Paso 4.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 4.5

Divide $0$ por $1$ .

$0$