Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{2 x - 1} d x$

Paso 1

Divide $x$ por $2 x - 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$x$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - \frac{1}{2}$ .

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Paso 5

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 5.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$