Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt[3]{4 - 3 x^{2}} (- 6 x) d x$

Paso 1

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$- 6 \int \sqrt[3]{4 - 3 x^{2}} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = 4 - 3 x^{2}$ . Entonces $d u = - 6 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 - 3 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Paso 2.1.4

Resta $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 6 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 6} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 6 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Paso 3.2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$- 6 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 6 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $6$ .

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.3

Multiplica $\int \sqrt[3]{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 3 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(4 - 3 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$