Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{8 - 3 x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ es positiva.

$\int \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{4 \cdot 2^{1} - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{4 \cdot 2 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.5

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6}}{3} \sin (t))}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.8

Combina $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ y $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 {(\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3})}^{2}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.9.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{6} \sin (t)}{3}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.9.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{{(2 \sqrt{6})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.9.3

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{2^{2} {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.10.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 2.1.1.10.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.10.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.2.5

Evalúa el exponente.

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{4 \cdot 6 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.10.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3^{2}}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{8 - 3 \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.1.12.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\int \sqrt{8 + 3 (- 1) \frac{24 \sin^{2} (t)}{9}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.12.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.12.3

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{8 + 3 \cdot - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.12.4

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{24 \sin^{2} (t)}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.13

Cancela el factor común de $24$ y $3$ .

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Paso 2.1.1.13.1

Factoriza $3$ de $24 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.13.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 (1)}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.13.2.2

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{3 (8 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{8 - 1 \frac{8 \sin^{2} (t)}{1}} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.13.2.4

Divide $8 \sin^{2} (t)$ por $1$ .

$\int \sqrt{8 - 1 (8 \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.1.14

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{8 - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $8$ de $8$ .

$\int \sqrt{8 (1) - 8 \sin^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $8$ de $- 8 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $8$ de $8 (1) + 8 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{8 (1 - \sin^{2} (t))} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{8 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $8 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\int \sqrt{4 (2) \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cos^{2} (t)} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.6.3

Mueve $2$ .

$\int \sqrt{2^{2} \cos^{2} (t) \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.6.4

Reescribe $2^{2} \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2} \cdot 2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\int 2 \cos (t) \sqrt{2} \frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{2 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ y $2$ .

$\int \frac{2 \sqrt{6} \cos (t) \cdot 2}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3} \cos (t) \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{4 \sqrt{6} \cos (t)}{3}$ y $\cos (t)$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos (t) \cos (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.4

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.5

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3} \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{4 \sqrt{6} {\cos (t)}^{1 + 1}}{3} \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3} \sqrt{2} d t$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t)}{3}$ y $\sqrt{2}$ .

$\int \frac{4 \sqrt{6} \cos^{2} (t) \sqrt{2}}{3} d t$

Paso 2.2.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int \frac{4 \sqrt{2 \cdot 6} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $6$ .

$\int \frac{4 \sqrt{12} \cos^{2} (t)}{3} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{4 \sqrt{12}}{3} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4 \sqrt{12}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4 \sqrt{12}}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{12}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{6} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 (3)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{12})}{2 \cdot 3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 12

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{2 \sqrt{12}}{3} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))) + C$

Paso 15.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}))) + C$

Paso 15.1.2.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}))) + C$

Paso 15.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}))) + C$

Paso 15.1.2.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}))) + C$

Paso 15.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}))) + C$

Paso 15.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}))) + C$

Paso 15.1.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Paso 15.1.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Paso 15.1.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Paso 15.1.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Paso 15.1.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}))) + C$

Paso 15.1.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Paso 15.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}))) + C$

Paso 15.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2}))) + C$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))) + C$

Paso 15.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ y $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Paso 15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Paso 15.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{2} + C$

Paso 15.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})) + C$

Paso 15.5

Combina $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} x}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 16.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.2.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 16.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{2 \cdot 2})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4})}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{4}))}{3} + C$

Paso 16.5

Reordena los términos.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{6}}{4} x)) + C$