Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ no está definida.

$x = - 4, x = - 1$

Paso 2

Como $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 16)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.1.1.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.1.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 6.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 x - 1) (x - 4)}{x + 1}$

Paso 6.2

Expande $(3 x - 1) (x - 4)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (x - 4) - 1 (x - 4)}{x + 1}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 (x - 4)}{x + 1}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.4

Mueve $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.9

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

Paso 6.2.10

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x + 4}{x + 1}$

Paso 6.2.11

Resta $1 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{x + 1}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$13 x$

$4$

Paso 6.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

Paso 6.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 6.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} + 3 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 6.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$

Paso 6.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

Paso 6.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

Paso 6.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					-	$16 x$	-	$16$

Paso 6.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 16 x - 16$ .

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$

Paso 6.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$
							+	$20$

Paso 6.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$3 x - 16 + \frac{20}{x + 1}$

Paso 6.14

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$3 x - 16 + \frac{20 x + 80}{x^{2} + 5 x + 4}$

Paso 6.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 3 x - 16$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 3 x - 16$

Paso 8