Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 6 - x$ y $d v = \sqrt{x}$ .

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

Paso 2.3

Combina $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

Paso 2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ por $1$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Paso 7.2.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.5

Para escribir $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.6.1

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.6.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.8

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.9

Suma $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ y $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Paso 7.2.10

Factoriza $3$ de $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Paso 7.2.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.11.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

Paso 7.2.11.2

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

Paso 7.2.11.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 7.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$