Cálculo Ejemplos

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \arctan (t)$ y $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Paso 2

Combina $t$ y $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Paso 3

Sea $u = t^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = t^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 3.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 3.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

Paso 3.3

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Paso 3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Paso 3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

Paso 3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = x^{1} + 1$

Paso 3.3.5

Simplifica.

$u_{lower} = x + 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

Paso 3.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\arctan (t) t$ en $2 x$ y en $\sqrt{x}$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

Paso 7.2

Evalúa $\ln (| u |)$ en $4 x^{2} + 1$ y en $x + 1$ .

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

Paso 7.3

Elimina los paréntesis.

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

Paso 8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

Paso 9.1.2

Combina $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Paso 9.2

Para escribir $2 \arctan (2 x) x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Paso 9.3

Combina $2 \arctan (2 x) x$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

Paso 9.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$