Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{\sqrt{t}} d t$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{t - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $t$ de $t - 2 t^{8}$ .

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Paso 2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{t^{1} - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 - 2 t^{8}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $t$ de $- 2 t^{8}$ .

$\int \frac{t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $t$ de $t \cdot 1 + t (- 2 t^{7})$ .

$\int \frac{t (1 - 2 t^{7})}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 2.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int t (1 - 2 t^{7}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 2.3

Multiplica $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 2.3.2

Multiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Paso 2.3.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{- \frac{1}{2} + 1} (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 2.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7}) d t$

Paso 3

Expande $t^{\frac{1}{2}} (1 - 2 t^{7})$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Paso 3.2

Reordena $t^{\frac{1}{2}}$ y $1$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} (- 2 t^{7}) d t$

Paso 3.3

Reordena $t^{\frac{1}{2}}$ y $- 2$ .

$\int 1 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Paso 3.4

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} t^{7} d t$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7} d t$

Paso 3.6

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Paso 3.7

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}} d t$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 7 \cdot 2}{2}} d t$

Paso 3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{1 + 14}{2}} d t$

Paso 3.9.2

Suma $1$ y $14$ .

$\int t^{\frac{1}{2}} - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 t^{\frac{15}{2}} d t$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int t^{\frac{15}{2}} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{15}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{17}) t^{\frac{17}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{2}{17}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{17} t^{\frac{17}{2}} + C$