Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

Paso 1.2

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Paso 1.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Paso 1.5.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.7

Reescribe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Paso 1.9

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.9.1

Mueve $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.9.2

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 1.9.2.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Paso 1.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Paso 1.9.3

Suma $1$ y $2$ .

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$